공업수학 2 - 변수분리법과 완전미분방정식

변수분리법

- 다음과 같은 상미분 방정식(변수 분리 가능 방정식)이 주어질 때, 양변에 x로 적분을 하고 정리를 하면 좌변은 y만 우변은 x만 나오며 이를 계산하여 일반해를 얻는 방법

변수 분리법을 이용한 예제

편미분과 전미분

- 편미분 : 다변수 함수에서 한 변수만을 다루고 나머지 변수들은 상수로 취급한 미분 

 -> 한 변수가 변할때의 변화율

- 전미분 : 다변수 함수에서 모든 변수를 동시에 다루는 미분

 -> 모든 변수가 변할때의 변화율

 

전미분과 완전미분방정식

- 함수 u(x,y)의 편도함수가 연속일때 이 함수의 전미분은 다음가 같고, u(x, y)가 상수인 경우 전미분은 0이된다.

- u(x,y)가 아래와 같이 주어진 경우 전미분을 구하고, 미분방정식의 형태로 만들면 완전미분방정식이 나온다.

- 이 완전 미분방정식 du = 0이므로 적분을 하여 일반해를 구하면 u(x, y) = c의 형태로 음함수해가 된다.

 

완전미분방정식이 되기 위한 조건

- 완전미분방정식은 전미분 du = M(x, y)dx + N(x, y) dy 의 형태가 되야 하며 M과 N의 편도함수가 같을때 성립한다.

 

 

 

완전미분방정시 아닌 경우와 적분 인자

- 아래의 식은 완전 미분방정식이 되지 않음.

- 1/x^2을 곱할 시 

- 적분인자 : 방금 완전미방이 아닌 식에 1/x^2을 곱하여 완전미방으로 만든 것처럼 곱한 함수 F(x,y)가 적분인자.