공업수학 3 - 선형상미분방정식과 예제 + 베르누이 방정식

선형미분방정식과 비선형 미분방정식

- 선형미분방정식 : 도함수/종속변수가 1차인 미방

   * n계 선형미방 : 가장 많이 미분한 항이 n번 미분한 미방

- 비선형미분방정식 : 도함수/종속변수가 1차가 아닌 미방

 

선형 미방과 비선형 미방 비교

- 아래의 예시에서 첫번째 미방의 경우 다차항이없고, y''가 가장 많이 미분하였므로 2계 선형 미방

- 두번째 미방의 경우 (y')를 제곱하여 2차가 되므로 비선형 미방

 

 

1계 선형 상미방의 대수적 표현과 표준형

- 1계 선형 상미방 : 아래와 같이 다차항이 없는 1계 상미분방정식

 * 우항의 r(x)는 입력을 의미(ex: 힘, 전류, 변위 등)

 * y(x)는 입력에 대한 출력

-  y'의 계수가 f(x)일 때 f(x)를 나누어 아래와 같이 y'의 계수를 1로 만들었을때의 미방을 1계 선형 상미방의 표준형

 

 

동차와 비동차

- 아래와 같이 우항이 0인 선형미분방정식을 동차 선형미방이라 하고, 0이 아닌 경우를 비동차 선형미방이라 한다.

- 동차 선형 미분 방정식 : 모든 항이 y 혹은 y의 도함수를 가지고 있다.

- 비동차 선형 미분 방정식 : 모든 항이 y 혹은 y의 도함수를 가지고 있지는 않다.

 

 

동차 선형 미방과 자명해(trivial solution)

- 다음의 동차 선형 미방의 표준형을 변수 분리하고, 적분 한후, 지수함수를 취하면 아래의 일반해(동차해)를 얻음

- 이 일반해에 c = 0을 대입하면 해당 구간 모든 x에 확실한 자명해 y(x)=0이나옴

 * 자명해는 당연한 해로 필요 x

 

비동차 선형 미방의 해

- 아래의 비동차 선형 미방이 주어질때, 적분 인자 F를 곱하자

- pF = F'의 조건을 주고, 변수 분리법으로 분리한 후, 적분과 지수함수를 취한 결과 F = e^h가 나온다.

- 이를 Fy의 합성함수 미분 식에다가 대입한 결과. (Fy)' = r * F임을 얻는다.

- (Fy)'를 적분 후, 양변에 F(=e^h)를 나눈 결과 응답 y(x)에 대한 식이 나오며, 입력의 응답과 초기조건응답으로나뉜다.

 

 

ex1) 1계 선형 상미분방정식의 초기값이 주어질때 응답 y 구하기

- 아래의 미분방정식과 초기조건, y에 대한 식이 주어지면  입력 r = sin 2x, p = tanx

- h = p = tan x의 적분이며 e^h = sec x가 나온다. 이를 통해 식 y의 r*e^h와 e^-h를 구한다.

- 정리한 식 y에 초기조건을 대입한 결과 c = 3이 나왔으므로, 이 선형 미분 방정식의 특수해는 아래와 같다.

 

ex2) RL 회로의 전류를 구해보자

- RL 회로가 주어지면,  KVL과 옴의법칙을 통해 구한 1계 선형 상미분방정식과 그의 표준형은 다음과 같다

- 비동차 선형미방의 일반 해를 구해보자

- 초기조건 I(0) = 0  <= 인가 시작떄 전류가 0이다. 초기조건을 통해 특수해를 구하자

 * 회로이론의 RL회로 전류 인가시 전류의 과도응답 식과 같다! wow

 

 

베르누이 방정식(비선형 상미방을 선형 상미방으로 바꾸기)

- 베르누이 방정식 : 실제 많은 문제는 비선형 -> 선형 상미분으로 변환하면 쉽게 풀수 있있으며 이 방법 중 하나

- 아래의 식에서 우항 y의 차수가 0 or 1이면 선형이지만 그렇지 않으면 비선형 상미방이 된다.

- 아래의 u에 대한 식을 미분하고 y'를 대입하자. u에 대한 선형 상미방이 나온다!