깜지로 쓰려는 블로그

기하학

- 점, 선, 면, 부피 등 공간의 성질을 연구하는 수학 분야

- 고전 기하학(유클리드 기하학) : 유클리드의 공리 체계로 정리한 도형의 성질들을 다룸

- 비유클리드 기하학 : 유클리드의 평행성 공리가 작용되지 않는 공간에서의 기하학(구면 기하학, 쌍곡 기하학)

- 기초 예시 : 피타고라스 정리, 원뿔 곡선의 기하학적 정의, 오일러 다면체 정리 등

정수론

- 여러 수의 성질을 다루는 분야

- 연구 대상으로 소수, 산술함수(최대/최소공약수, 오일러파이함수, 체비쇼프함수 등), 디오판토스 방정식 등이 있음

- 분류

  - 초등 정수론 : 복소해석학 안쓰는 경우

  - 해석적 수론 : 복소해석학을 기반, 항등식 대신 크기나 밀도의 어림잡음 다룸

  - 대수적 수론 : 대수적 수체를 다룸

  - 계산 수론 : 수론에 나오는 값을 계산하는 알고리즘 연구함

군론

- 대수학의 한분야로 5차방정식 근의 공식이 없는것을 아벨이 증명하자, 방정식의 근을 대수적으로 풀수 있는지 없는지 여부를 연구하면서 도입됨.

- 추상대수학의 기본이 되는 분야

- 아래의 링크에 따르면 '군'은 이행 연산이 가능한 집합에서 두 원소사이 연산 시 집합에 다시 돌아오고, 이외 몇몇 성질이 성집하는 집합

ref : https://wiki.mathnt.net/index.php?title=%EA%B3%A0%EA%B5%90%EC%83%9D%EB%8F%84_%EC%9D%B4%ED%95%B4%ED%95%A0_%EC%88%98_%EC%9E%88%EB%8A%94_%EA%B5%B0%EB%A1%A0_%EC%9E%85%EB%AC%B8 

추상대수학

- 대수 구조를 다루는 수학적 대상을 연구하는 분야 (체, 군, 환, 벡터, 경자 등)

- 연립 선형 방정식 해를 구하는 연구에서 행렬과 판별식 개념을 찾아냄 ->선형대수 생김

- n차 다항식 근을 구하는 공식 찾는 시도에서 군을 대칭의 대수적 표현으로 재발견

- 4차 or 그이상 차수의 디오판토스 방정식 산술 연구로 환과 아이디얼이란 개념이 생김

대수학

- 공리를 만족하는 수학 구조의 성질을 연구함??

- 이라고 하는데 방정식같은거에 수나기호로 문제를 푸는게 대수학이 아닌가 

- 알 콰리즈미가 수 대신 문자를 쓰면서 방정식을 푸는 것에서 나옴

프랑수아 비에트 전후의 대수학

- 프랑수아 비에트 이전의 대수학은 '계산방법'과 '다항방정식의 해를 구하는방법'을 다루었으니 계산하는 것이 맞았었다.

- 프랑수아 비에트가 처음으로 변수(로마자 미지수 사용)의 개념을 사용하기 시작해서부터 논리로 연산의 성질을 찾는 학문이 됨(현대 대수학)

 * 프랑수아 비에트는 근과 계수의 관계를 찾아내었으며, 원주율로 무한급수를 찾아냄

현대 대수학

- 추상적인 성질로 정의되는 구조, 대수 구조를 연구하는 분야

- 대수 구조의 예시 : 군, 환, 체, 벡터공간, 격자

해석학

- 대수학과 기하학에 미적분을 사용해서 함수의 연속성을 연구하여 형식화하는 학문

 => 수열, 극한, 급수, 해석함수 등이 나옴

- 분야

  - 실해석학 : 실변수 함수를 미적분함.

  - 함수해석학 : 함수 공간 다룸, 힐베르트 공간 등

  - 조화 해석학 : 푸리에 급수 & 추상화한것 다룸

  - 복소 해석학 : 복소 변수 함수 다룸

  - 미분기하학 : 미적분을 공간에 적용

  - 수치해석 : 문제를 알고리즘으로 근사해서 다룸