미분방정식으로 현실을 어떻게 수학 모델로 만들까 1 - 간단미방종류

미분 방정식

- 단순 정의 : 함수와 함수의 도함수로 이루어진 방정식

- 독립변수 개수로 분류한다면

 1) 상미분 방정식 : 독립 변수가 하나인 미방

 2) 편미분 방정식 : 독립 변수가 여러개인 미방

- 용도 : 운동 방정식 F = ma에서 시작해 현실 일을 미분 방정식의 형태로 표현 -> 해를 구한다 -> 현상 시뮬레이션이 가능

 단순 예시) 비행기 시뮬레이션, 용수철 운동, 포물선 운동 등에서 시간 t에서 물체의 위치 같은것..?

 + 인구 변화, 광고 효과, 상품 매출 등을 미래에 어떻게 될지 예측 가능!

 

 

 

비행기 시뮬레이션 예제 - 비행기를 점으로 볼때, 등속 운동하는 비행기의 위치 구하기

- 실제 비행기에 구조와 작용하는 힘을 고려하기는 힘드니 점으로 볼때 위치를 구해보자

- 뉴턴의 운동 방정식 F = ma에서 시작

- 비행기가 등속운동하는 경우 외부의 힘이 존재하지 않음 ma = 0

- 가속도 a는 위치 x를 두번 미분한것이므로 다음과 같이 표현 가능

 => 다음 미방으로 부터 해인 x를 구하자, x는 시간 흐름에 따라 위치를 나타내는 함수(= x(t))

- 하지만 미방을 풀기전에, 거리 x = 시간 t X 속도 v 로 원래부터 이미 x(t)가 무엇인지 알고 있었다.

- x(t)에다가 초기 시작위치 x_0를 추가해주면 다음과 같이 정리됨

 

- 10m 지점에서 출발(x_0), 20m/s(v) 로 5s(t)간 이동하면 비행기의 위치는 다음과 같음

 

 

 

미분 방정식 분류

- 미분된 횟수(계)로 구분한다면 : 1계도함수, 2계 도함수...

 1) 1계 1차 미방 : x가 한번 미분됨

 2) 2계 1차 미방 : x가 2번 미분됨

- 선형/비선형으로 구분한다면 : 선형 미방, 비선형 미방

 1) 선형 미방 : x가 1차임(x^2같은게 없으므로)

 2) 비선형 미방 : x가 1차가 아님, 아래의 예시에서 sinx는 비선형 함수가 포함되있으므로 비선형 미방

- 계수가 변수인지, 정해진 수인지에 따라 : 변계수 미방, 정계수 미방

 1) 변계수 미방 : 계수가 변수로 된 경우, 아래 예시에서 m,v,k는 변수

 2) 정계수 미방 : 계수가 정해진 수인경우, 아래 예시에서는 1, 2, 3으로 정해짐

 

- 변수와 관계없는 계수(상수항)이 0인지 여부에 따라 : 비동차 미방, 동차 미방

 1) 비동차 미방 : 우측의 상수항이 0이 아님 

 2) 동차 미방 : 우측의 상수항(x가 없는)이 0임

 

 

미분 방정식을 통한 현실의 물리 운동 표현의 예시

계수	종류	식	무엇을 표현할까
1계	동차 선형		시간(t)에 따른 인구수(P) 변화를 표현하는 미방
	비동차 선형		구름이 떨어지는 속도(v)를 나타내는 미방 (우항 mg - 6pi....는 중력과 점성 저항 표현)
2계	동차 선형		탄성과 저항(댐퍼?)를 고려한 진동 시스템 미방
	비동차 선형		위 진동 시스템에 외력(F_0 cos 블라블라)이 가해지는 경우 미방