깜지로 쓰려는 블로그

최근에는 메스프레소 영상 잘 보다가 이젠 볼게 다떨어져서

오랜만에 계속 봐야지 생각하던 만화로 쉽게배우는 시리즈의 미분 방정식 책을 봄

이 책을 보기 전에도 여러 차례 미분 방정식이 무엇인지 찾아보고

공업 수학을 이해하려고 시도는 했으나 잘 와닿지는 않았었다.

미분 방정식을 왜 만드는 것인지 이걸 어떻게 사용하는 것인지

기존의 책들에서는 초심자의 관점 보다는 수학자의 관점이라 해야할까

공업 수학 책같은거만 보면

미분 방정식의 공식 해 어떻게 계산하는것인지 사실들을 나열할 뿐

각 방식들마다 현실감에 와닿는 실제 사용 예시까지 자세히 설명하지는 않아서

미분 방정식을 학습하기에는 매우 어려운 편이었다.

어쨋든 이 책을 보기 전에는 미분 방정식은

현실의 물리적인 현상 계산하기 위해 표현한 것이 미분 방정식이고

기존의 대수 방정식은 특정한 값이 되는 해를 구하였다면

미분방정식의 경우 함수가 해가 되는 것이라고 정도 이해하였다.

(미분 방정식는 함수인 해를 구하는 것이다 이 조차도 최근 어디 만화로 쉽게배우는 시리즈 보다가 이해했다.)

미분 방정식이 현실을 반영하는 수학 모델이란걸 이해하면서 매우 중요한 개념인건 알고있으나

도통 현실에 어떻게 적용되는 것인지 이해하지 못한 상태에서 이 책을 보게 되었는데

역시 만화로 쉽게 배우는 시리즈가 정말 잘 만들어졌구나 감탄할수 밖에 없었다.

물론 기존의 공업 수학 교재 내용처럼 간결하거나 깊이 있지는 않지만

최대한 단순한 예제(뉴턴의 운동량 법칙)부터 시작해 단순한 미방 식의 해를 구하고 

기존의 미방이 현실을 반영하지 못하면 현실을 더 반영해 실제와 유사해지는 미방을 만들어내는 과정이

그 망할 미분 방정식을 이렇게 설명해줄수 있구나 계속 놀라면서 보았다.

몇년전에 제어 공학에서 스프링 댐퍼 시스템을 공부하면서

기존의 교재로는 왜 이런 시스템이 있고 이것을 풀어가는지에 대한 이해를 거의 하지 못한채

억지로 공식만 외워 풀다가 잊어버리기를 반복했었는데

이 책을 보면서 질량 스프링 댐퍼 시스템도 전보다는 꽤 많이 이해할수 있었다.

아무튼 올해 전자정복과 더불어

몇 년동안 나를 속뒤집어지게 만들었던 미방을 어느정도 이해하게 도와준 가장 감명깊게 본 책

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이번에 본 영상은

메스프레소의 사영기하학과 토폴로지

하지만 봐도 잘 이해가 안간다,..

그나마 사영기하학 영상에서는 르네상스기부터 원근법을 다루기 시작했고

3차원 공간을 2차원으로 투영시키는 사영기하학이 발전하게 되었다고 한다.

이 때 2차원 공간에 투영하면서 사라지는 중심점을 무한원점, 소실점이 된다.

정도 까지는 이해했다만

다음 영상인 위상 수학은 무슨 소리인지 전혀 모르겠다.

유클리드기하학에서는 모양이 포게어지면 합동 동일하다고 본다고하는데

어느 물체가 구멍이 하나뿐이면 주물러서 다 똑같이 만들수 있다면 위상 동형이라고 한다.

이 외의 내용은 전혀 모르겠다.

또 아쉽게도 메스프레소에서에서 내가 관심있는 영상이 다떨어짐

슬슬 다시 책보거나 딴짓할 때가 된듯하다.

이번에 본 영상들은 테일러, 유클리드기하, 수학의 정의, 갈루아, 공리명제 용어

먼저 테일러 급수의 경우

이전에 칼만 필터 공부하면서 .. 봤었는데 전에 이해했었는데 정확히 내용을 잊었다!

대충 그냥 칼만 필터로는 2차원 공간에서 운동을 제대로 추정하기 힘든데 테일러 급수 1차까지 갖고 선형화를 하여

완전 정확하진 않아도 어느정도 추정할수 있게 만들었다 는 정도로 기억하고 있다.

아무튼 테일러 급수가 왜 나왔는지 궁금해서 본 영상

일단 함수에선 우리가 방정식을 풀며 만난 대수함수와 사인,코사인, 로그, 지수함수 같은 대수 방정식으로 표현하지 못하는 초월함수가 있다고 한다.

근데 이전에는 초월 함수를 대수 방정식으로 표현 불가했는데 테일러가 이 급수를 만들면서 사인, 코사인을 대수방정식으로 표현이 가능해졌다고 한다.

지나가면서 얼핏얼핏 들은 메클로린 급수도 테일러 급수의 한 종류

그 다음으로는 유클리드와 비유클리드 기하학 비교 영상을 봤는데

유클리드 기하는 10개의 공리만 가지고 200여개의 기하-모양 정리를 증명해내었다고 한다.

하지만 유클리드 기하로 설명할수 없는 것들을 설명하기 위해나온게 비유클리드 기하

대표적으로 쌍곡기하와 구면기하가 있다고한다. 쌍곡기하는 딥러닝 최적화에서 잠깐본것같지만 말 안장 모양의 면과 같은형태고 구면기하는 우리가 사는 지구면에서의 기하라고 한다. 유클리드기하는 평면공간에서 성립하는 평면 기하

유클리드, 비유클리드(쌍곡, 구면기하) 차이를 정리하면

삼각형 세 내각의 합이 180도, 쌍곡기하에서는 180도보다 작고, 구면기하에서는 180도보다 크다.

수학의 정리같은 경우는

고대 그리스시대 수와 모양(기하)

근대 수, 모양, 운동

현대 패턴에 대한 학문이라고 한다.

아벨과 갈루아 영상에서는

이전에는 3, 4차 방정식의 해를 찾아내는 방법을 구하고 5차 방정식 해를 구하는 방법을 찾다가

반대로 5차방정식의 해가 존재하지 않음을 증명해낸게 갈루아

공리명제정의에 관한 영상에서는

수학책에 자주나오는 이런 용어들을 다시 풀어주었다.

수학머리는 운명이다? 영상에서는

귀납, 연역법에 대한 이야기가 나오는데

우리가 경험한 것으로 일반화하면 귀납적 사고, 경험적 사고이고

수학적 사실을 가지고 다른 현상들을 정리하면 연역적 사고라고 하니

귀납과 연역법이 조금은 구분되더라.

수학은 연역적 사고를, 과학은 귀납적 경험적 사고를 한다고하니

역시 난 수학보단 헤매는게 잘맞는거같다.

대충 머리에 남은건 이정도

영상 내용 너무 좋긴한데 내가 보고 싶은게 얼마 남지 않아서 너무 아쉽다.

헿 아까 인물 열전쓰고 놀려고하다가

잠깐 다른영상 뭐가 있나보다가 안눌러볼수 없는 영상 두가지가 있어서 보았다.

이번 영상은 인물이나 정리과정이라기보다는

뜻, 이유를 알려주는 내용이라 그냥 간단하게 보았음

이번에 본 영상은 메스프레소님의 수학자 열전들

가장 아름다운 공식이라 불리는 오일러공식

컴퓨터 공학에서 흔히 사용되는 최소제곱법을 사용한 가우스

자연 현상을 수학으로 정리한 뉴턴

계산기와 대기압을 알아낸 파스칼

로그를 만들어낸 네이피어까지

이번에 본 영상들은 이전에 책보면서 마주쳤던 수학자들에 관한 내용을 찾아보았다.

원래 알고 있던 내용들에 더불어서

로그같은 경우에는 곱샘을 덧샘뺄샘으로 만들어준다는건 알고있었지만 이게 왜그렇게 중요한건진 잘 몰랐었다.

영상보면서 다시보니 저 당시는 계산기가 없어 계산표를 가지고 계산하던 시대였던걸 상기하니 왜 로그가 위대한지 알겠더라

뉴턴의 경우에는 지난번에 책 보면서 프린키피아나 광학에 대한 내용들을 기억하고 있었지만 뉴턴이 반사 망원경도 만들었을줄은 몰랐었다. 이전에 갈릴레이가 안경사들이 안경만드는걸보고 유리를 이용해서 처음 망원경을 만들었다고 한건 알았는데 뉴턴도 망원경을 만든건 처음 알았음.

마지막으로 파스칼.. 파스칼 계산기야 컴퓨터 역사서 보면서 알고 있었고, 전에 온도 변화에 따라 수은의 높이로 온도계를 만들었다는 이야기를 얼핏 기억하고 있었는데 파스칼도 비슷한 일을 했었더라.

잠깐 파스칼 앞에 토니첼리가 진공을 찾아낸 이야기가 나오는데, 물분수가 10m 까지 떠오르지 못하는 이유를 찾아내려다가 당시 기술로는 10m 넘는 유리관을 만들지 못해서 물보다 비중이 10배인 수은가지고 실험을 했다고 한다. 수은을 담은 유리관을 수은 담긴 유리비커에 뒤집었더니 유리관안에 없었던 공간이 생기니 당시 존재하지 않는줄 알았던 진공을 찾아낸게 되더라.

파스칼은 토니첼리와 비슷한 실험을 하는데 이런 실험 기구를 갖고 산에 올라가니 올라 가면 갈수록 이 진공이 넓어지는걸 보고 대기압을 찾아내었다고 한다.

대충 기억나는 내용은 이 정도

아까 본 영상인 수학의 분류

예전에 국외 유튜버 분들이 컴퓨터 과학의 지도, 공학의 지도 영상 만든걸 본적이 있었는데

내가 무언가를 공부하면서 어디에 있는지 막연함을 가지고 있을때

학문을 지도로 보니 지금 어디에 있고, 다른 갈곳이 어떤게 있는지 보기 좋더라

그래서 수학의 종류를 정리한게 없나 싶었는데

역시나 메스프레소님이 수학자나 공식 일화를 정리해주셨는데, 수학의 종류도 정리를 해주셨더라

그래서 본 영상이 수학의 분류다.

그나마 최근에 책보면서

해석학이니 기하학이니 하는 용어가 조금 익숙해지긴 했지만

여전히 수학의 분야에 대해서 막연했는데 조금 더 이해하는데 도움 되었음

최근 쩌는 유튜버를 찾았다.

메스프레소

내가 왜 수학 유튜버를 찾았나

이전에는 공부를 할 때 보통 교재 문제 풀거나 공식 외우는 식으로 계속 하곤 했었다.

하지만 이런 방식으로는 시간이나 체력 낭비도 너무 크고, 금방 잊어버리긴 일수여서

이를 계속 반복하려하니 흐름을 타면 덜하긴 한데 의욕도 너무 떨어지기 쉬웠다.

다른 공부방법으로는 하브루타가 있다고 하지만

내 환경은 그렇지는 못했고, 글이나 자료 만들기로 하브루타를 대체하였으나

배우며 정리하는 방식 또한 억지로 반복 외우기보다는 덜해도 체력 소모가 큰 편이긴 했다.

그래서 조사하거나 암기하는 식으로 공부할 의욕이 없을 때

지금은 한 곳만 팔게 아니라 넓게 둘러볼 시간이 된것 같아 교양서 위주로 다양하게 찾아보고 있었다.

하지만 처음에는 책 어느정도 보긴 했지만 영 책보는것도 점점 질리기 시작했다.

200 ~ 300페이지만 하면 하루에 대충보기도 했지만 길면 길수록 보기 지겨웠고

책보다 편하게 배울수 있는 매체가 필요했는데 가장 적당한게 유튜브

하지만 해외에 비하면 우리나라에는 그런 자료가 많지 않은 편이긴 한데

다행이 컨텐츠 잘만드는 수학 유튜버가 한분 계셧더라

국내에는 매우 드문 수학 주제 유튜버인데

교육 쪽으로 일하시는 분이셔서인지

수학 기초는 물론, 이론 정리나 수학자 역사 등

수학의 넓은 분야를 재밋고 가볍게 볼수 있도록 잘 정리해주셨다

그래서 가장 처음 본게 수학자 레전드 100명 

내가 이전에 수학 역사 책이나 이것 저것 보면서 봤던 사람들이 조금씩 보였다.

이런 식으로 여러가지 보다보면 시간 내서 공부할때 많이 도움될거같다.

이번에 본 책은 만화로 쉽게 배우는 허수 복소수

복소수 다루는 내용을 몇번 보긴 했지만 잘 감도 안잡히고

전기 기사 필기 공부할때 억지로 외운 기억이 나긴하는데 지금 다 잊어버린 상태

내용은 수의 종류

데카르트 좌표계, 복소평면, 극좌표계

복소수 사칙연산

초월수 증명

오일러 정리

회전 행렬

전기회로에서 오일러 정리를 이용한 미분 방정식의 대수 방정식으로 변환시켜 간단하게 사칙연산하는 내용이 나온다.

이전에는 복소수를 왜 사용하는 것인가

잘 이해가 안되다보니

이번에 볼때는 필기해가면서 공식 증명 과정을 전개하기 보다는

복소수의 유용성을 보는데 신경쓴편

그래도 내용이 많지는 않아서 대충 넘어갔다.

보면서 생각난건

예전에 신호와 시스템 공부할때

시스템을 시간 영역에서 계산하면 복잡하지만

푸리에/라플라스 변환을 통해 주파수/s 영역으로 변환하면 간단하게 계산가능했던게 기억나더라

결국엔 복소수는 더 간단하게 계산하려고 만들어졌고,

미분 방정식을 단순화 시킨다 정도만 이해해도 될듯

힣

분명 오일러식이나 전압,전류 식 다 전에 외웠는데 하나도 생각안남

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이번에 본 책은 만화로 쉽게 배우는 양자역학

원래 나는 양자역학에 전혀 관심없었는데

이책 저책 구경하다보면 양자역학 책이 얼핏얼핏 보이곤 했다.

그래서 전에 한번 보려고 했지만 뭔소린지 전혀 모르겠다 싶어서 그냥있다가

만화로 쉽게 배우는 시리즈에 양자역학도 있길래 한번 보았음.

역시 양자역학답게 만화로 쉽게 배우는 시리즈로 봐도 잘 이해안가는 부분이 많긴 하지만

고대부터 근대, 현대에 이르기까지 물질을 어떻게 이해하게 되었는지의 변천과정을

그나마 가장 편하게 설명한 책같다.

특히 원래 알고 있던 원자 모델이 아래 같은 러더 퍼드 모델이었다면

옛날부터 현대에 이르기까지 원자가 어떻게 생겼는지 이해하는 과정이 꽤 흥미로움.

빛이 파동인지 입자인지를 다루거나 여러가지 실험에 대한 내용도

그래도 글만 나오는 책보다는 보기는 편했고,

끝에 전자의 운동을 고전 역학으로 이해하는지 확률로 이해하는지에 대한 내용까지

다음에 이 시리즈를 본다면 허수, 복소수나 열역학쪽으로 함봐야지

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얼마전까지 1일 1책하다가

최근 책 볼 의욕이 좀 사라져서 보지 못했는데

다시 책좀 보려고 가볍게 본책

원랜 우주에 관심이 없어서 볼 생각은 없었는데

만화로 쉽게 배우는 양자역학 편을 보려다가 전편이라길래 잠깐 봄

근데 내용 흐름 상 크게 안봐도 상관없었던거같긴한데

그냥 가볍게 봄

내용은 관심있던건 별로 없어서 대충 넘어갔는데

지동설, 천동설 얘기와 함께

이전 물리, 과학 책에서 여러 번 봤었던

프톨레마이오스, 케플러, 갈릴레이 이야기가 나온다.

이전에 물리 파동 빛 소리 편에서 봤던 도플러 효과 내용도 잠깐 지나가고,

수학자 역사책에서 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 내용과 관련되어보이는

용어는 잘 기억안나는데 공간이 휘어져서 삼각형 내각의 합이 180도 인경우, 작은경우, 큰경우에 대한 공간들 내용도 나온다.

대충 빠르게 보긴 했지만

이전에 봤던 개념들을 다시 마주치기도

우주 관련된 사실을 어떤 실험을 통해 이해하게 되었는지 약간은 파악됨

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