깜지로 쓰려는 블로그

한 점을 지나는 접선의 방정식

- x0에서 연속인 함수 f(x)의 접선인 (기울기 a) 방정식은 다음과 같음

두 점을 지나는 직선의 기울기

- y = f(x)의 두 점 x0, x1을 지나는 직선의 기울기는 다음과 같다

극한을 통한 접선의 기울기

- 위에서는 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구함

- x1이 x0에 점점 가까워지면 x0에서의 점선에 대한 기울기가 나온다.

램프 함수의 기울기는?

- 자주 사용하는 램프 함수는 x가 0미만에서는 0이고, 0이상에서는 x이다. 그러면 램프 함수의 기울기는 어떨까

 => 램프 함수는 0에서 좌극한과 우극한이 다르므로 미분가능하지 않음

도함수

- 함수 f(x)의 한 점에서 기울기를 구하는 식 f'(x)

- x = x1인 지점에서 f(x)가 미분가능한 경우 도함수 f'(x)는 다음과 같음

미분 계수와 도함수 차이

- 도함수 : 임의의 점 x에서 함수 y = f(x)의 접선 기울기를 구하는 식(x 미정)

- 미분 계수 : 특정한 x 지점에서의 기울기(x 지정)

미분 계수 표현하기

- 미분 계수 a는 dy/dx로 표현

- 미분 계수는 한 점에서의 기울기이므로 해당 지점은 다음과 같이 표현

일차 근사

- 근사식 : 주어진 함수 y = f(x)에 가깝게 근사/표현한 식

- 일차 근사 : 일차 함수(= 직선에 대한 함수)로 y = f(x)에 가깞게 나타낸 식

- 실제 값과 근사 값의 차이 : x1에서 실제 함수와 (x0에서 선형 근사한)일차 근사 함수에는 다음과 같이 차이가 존재

도함수와 미분의 의미와 도함수 예시

- 도함수 : 임의의 x에 대한 함수 y = f(x)의 접선 기울기를 구하는 식

- 미분 : f(x)의 도함수를 얻는 것

- 함수 f(x) = x, f(x) = x^2, f(x) = x^3 의 도함수 예시

정적분과 구분구적법

- 정적분 : 함수의 면적을 구하는 방법

- 구분구적법 : 폐구간 I = [a, b]의 연속함수 f(x)의 각 작은 구간에 대한 직사각형을 합하여 면적 근사 계산한 방법

원시함수와 부정적분

- 부정적분 : 임의의 적분 가능한 구간에서의 정적분 

- 원시함수 : F'(x) = f(x)를 만족하는 함수 F(x)

- 부정적분과 원시 함수의 관계 : 원시함수 = 부정적분 + 임의의 상수 C

이번에 본 영상은

메스프레소의 사영기하학과 토폴로지

하지만 봐도 잘 이해가 안간다,..

그나마 사영기하학 영상에서는 르네상스기부터 원근법을 다루기 시작했고

3차원 공간을 2차원으로 투영시키는 사영기하학이 발전하게 되었다고 한다.

이 때 2차원 공간에 투영하면서 사라지는 중심점을 무한원점, 소실점이 된다.

정도 까지는 이해했다만

다음 영상인 위상 수학은 무슨 소리인지 전혀 모르겠다.

유클리드기하학에서는 모양이 포게어지면 합동 동일하다고 본다고하는데

어느 물체가 구멍이 하나뿐이면 주물러서 다 똑같이 만들수 있다면 위상 동형이라고 한다.

이 외의 내용은 전혀 모르겠다.

또 아쉽게도 메스프레소에서에서 내가 관심있는 영상이 다떨어짐

슬슬 다시 책보거나 딴짓할 때가 된듯하다.

함수의 평행 이동

- 가로축 x, 세로축 y로 놓는 함수 y = f(x), 를 x축에 대해서 a만큼 y축에 대해서 b만큼 평행 이동한다면

- X = x - a, Y = y - b로 놓는다면 x, y에 대한 함수가 아닌 X, Y에 대한 함수로 만들 수 있다.

합성 함수

- 여러 함수를 순서대로 적용하는 것

- x를 함수 f에 사상한 값 f(x)를 다른 함수 g로 사상한 값은 g(f(x))

* 주의 : f의 치역이 g의 정의역에 들어가야 함

- 다음의 경우 x는 임의의 실수 R이 아닌 [-1, 1]의 구간으로 정의역을 제한해야함

 1) g(x)는 음수가 존재 하지 않음

 2) f(x)는 최대가 1임

  => g(y)의 정의역은 [0, 1]

    => 이를 위함 f(x)의 정의역은 [-1, 1]

역함수

- y로 x를 구하는 역방향 함수, y=x로 뒤집은듯한 형태

- 함수와 역함수의 합성 함수는 항등 함수

* 주의 : f(x) = x^2의 경우 y=x로 뒤집을 시 하나의 x에 y가 2가지가 동시에 나옴

   => 정의역을 명확히 제한해야함

함수의 극한과 연속성

- 함수 f에서 x가 특정 값 x0에 가까워질때 f(x)가 a에 가까워지는 것

- 아래의 경우 x가 0에 가까워질때 lim f(x) = 0이나 f(0)=1이므로 불연속

이전부터 수치해석이나 최적화이론을 한번 봐야하겠다 생각은 하고있었지만

해석학이 뭔지도 잘 모르는 상태에서는 억지로 파려고 해봤자 소용없다는 생각밖에 들지 않았다.

최근에서야 수학사 관련한 책과 영상들을 보면서 해석학이 뭔지 기하학이 뭔지 이제야 감이 슬금슬금 잡힐랑 말랑하는데

전에는 구글링해서 나온 글들을 보며 해석학은 수식가지고 계산하는거고 수치해석의 수치적 방법은 정확하지는 않더라도 어느정도 정밀성을 가진 값을 찾아낸다. 정도의 이해밖에 하지 못하고 있었다.

아무튼 다시 수학 공부하기에 앞서 가장 기초가 되는 미적분학(해석학)의 복습 필요성을 느껴서 대충 대충 정리하더라도 다시 시작하려고한다.

집합

- 무언가의 모임

대표적인 집합의 기호

원소 x가 집합 A에 포함됨(x는 A의 원소이다.)

짝수의 집합

- 짝수의 집합 N0는 n으로 구성됨.

- n은 2로 나누어 얻은 나머지가 0인 수

=> N0는 짝수의 집합

집합에서의 사상

- 사상 : 두 집합의 원소 간 대응 관계/연결

  ** x = 1 => f(x) = 1 과 같은 대응관계

   하지만 x = 1인데 f(x) = 1  혹은 f(x) = -1 두가지 값이 나오는 경우는 존재하면 안됨.

- 정의역 : (사상의) 출발점 집합 

- 치역 : (사상의) 도착점 집합

- 단사 : 대응 관계의 목적지가 모두 다르다

- 전사 : 모든 대응 관계의 목적지가 연결된 경우 

- 전단사 : 대응 관계의 목적지가 모두 다르며, 연결되어 있는 경우

구간과 기호

- 폐구간 : 경계를 포함 [, ] 기호 사용

- 개구간 : 경계를 포함안함 (, ) 기호 사용

이번에 본 영상들은 테일러, 유클리드기하, 수학의 정의, 갈루아, 공리명제 용어

먼저 테일러 급수의 경우

이전에 칼만 필터 공부하면서 .. 봤었는데 전에 이해했었는데 정확히 내용을 잊었다!

대충 그냥 칼만 필터로는 2차원 공간에서 운동을 제대로 추정하기 힘든데 테일러 급수 1차까지 갖고 선형화를 하여

완전 정확하진 않아도 어느정도 추정할수 있게 만들었다 는 정도로 기억하고 있다.

아무튼 테일러 급수가 왜 나왔는지 궁금해서 본 영상

일단 함수에선 우리가 방정식을 풀며 만난 대수함수와 사인,코사인, 로그, 지수함수 같은 대수 방정식으로 표현하지 못하는 초월함수가 있다고 한다.

근데 이전에는 초월 함수를 대수 방정식으로 표현 불가했는데 테일러가 이 급수를 만들면서 사인, 코사인을 대수방정식으로 표현이 가능해졌다고 한다.

지나가면서 얼핏얼핏 들은 메클로린 급수도 테일러 급수의 한 종류

그 다음으로는 유클리드와 비유클리드 기하학 비교 영상을 봤는데

유클리드 기하는 10개의 공리만 가지고 200여개의 기하-모양 정리를 증명해내었다고 한다.

하지만 유클리드 기하로 설명할수 없는 것들을 설명하기 위해나온게 비유클리드 기하

대표적으로 쌍곡기하와 구면기하가 있다고한다. 쌍곡기하는 딥러닝 최적화에서 잠깐본것같지만 말 안장 모양의 면과 같은형태고 구면기하는 우리가 사는 지구면에서의 기하라고 한다. 유클리드기하는 평면공간에서 성립하는 평면 기하

유클리드, 비유클리드(쌍곡, 구면기하) 차이를 정리하면

삼각형 세 내각의 합이 180도, 쌍곡기하에서는 180도보다 작고, 구면기하에서는 180도보다 크다.

수학의 정리같은 경우는

고대 그리스시대 수와 모양(기하)

근대 수, 모양, 운동

현대 패턴에 대한 학문이라고 한다.

아벨과 갈루아 영상에서는

이전에는 3, 4차 방정식의 해를 찾아내는 방법을 구하고 5차 방정식 해를 구하는 방법을 찾다가

반대로 5차방정식의 해가 존재하지 않음을 증명해낸게 갈루아

공리명제정의에 관한 영상에서는

수학책에 자주나오는 이런 용어들을 다시 풀어주었다.

수학머리는 운명이다? 영상에서는

귀납, 연역법에 대한 이야기가 나오는데

우리가 경험한 것으로 일반화하면 귀납적 사고, 경험적 사고이고

수학적 사실을 가지고 다른 현상들을 정리하면 연역적 사고라고 하니

귀납과 연역법이 조금은 구분되더라.

수학은 연역적 사고를, 과학은 귀납적 경험적 사고를 한다고하니

역시 난 수학보단 헤매는게 잘맞는거같다.

대충 머리에 남은건 이정도

영상 내용 너무 좋긴한데 내가 보고 싶은게 얼마 남지 않아서 너무 아쉽다.

헿 아까 인물 열전쓰고 놀려고하다가

잠깐 다른영상 뭐가 있나보다가 안눌러볼수 없는 영상 두가지가 있어서 보았다.

이번 영상은 인물이나 정리과정이라기보다는

뜻, 이유를 알려주는 내용이라 그냥 간단하게 보았음

이번에 본 영상은 메스프레소님의 수학자 열전들

가장 아름다운 공식이라 불리는 오일러공식

컴퓨터 공학에서 흔히 사용되는 최소제곱법을 사용한 가우스

자연 현상을 수학으로 정리한 뉴턴

계산기와 대기압을 알아낸 파스칼

로그를 만들어낸 네이피어까지

이번에 본 영상들은 이전에 책보면서 마주쳤던 수학자들에 관한 내용을 찾아보았다.

원래 알고 있던 내용들에 더불어서

로그같은 경우에는 곱샘을 덧샘뺄샘으로 만들어준다는건 알고있었지만 이게 왜그렇게 중요한건진 잘 몰랐었다.

영상보면서 다시보니 저 당시는 계산기가 없어 계산표를 가지고 계산하던 시대였던걸 상기하니 왜 로그가 위대한지 알겠더라

뉴턴의 경우에는 지난번에 책 보면서 프린키피아나 광학에 대한 내용들을 기억하고 있었지만 뉴턴이 반사 망원경도 만들었을줄은 몰랐었다. 이전에 갈릴레이가 안경사들이 안경만드는걸보고 유리를 이용해서 처음 망원경을 만들었다고 한건 알았는데 뉴턴도 망원경을 만든건 처음 알았음.

마지막으로 파스칼.. 파스칼 계산기야 컴퓨터 역사서 보면서 알고 있었고, 전에 온도 변화에 따라 수은의 높이로 온도계를 만들었다는 이야기를 얼핏 기억하고 있었는데 파스칼도 비슷한 일을 했었더라.

잠깐 파스칼 앞에 토니첼리가 진공을 찾아낸 이야기가 나오는데, 물분수가 10m 까지 떠오르지 못하는 이유를 찾아내려다가 당시 기술로는 10m 넘는 유리관을 만들지 못해서 물보다 비중이 10배인 수은가지고 실험을 했다고 한다. 수은을 담은 유리관을 수은 담긴 유리비커에 뒤집었더니 유리관안에 없었던 공간이 생기니 당시 존재하지 않는줄 알았던 진공을 찾아낸게 되더라.

파스칼은 토니첼리와 비슷한 실험을 하는데 이런 실험 기구를 갖고 산에 올라가니 올라 가면 갈수록 이 진공이 넓어지는걸 보고 대기압을 찾아내었다고 한다.

대충 기억나는 내용은 이 정도

아까 본 영상인 수학의 분류

예전에 국외 유튜버 분들이 컴퓨터 과학의 지도, 공학의 지도 영상 만든걸 본적이 있었는데

내가 무언가를 공부하면서 어디에 있는지 막연함을 가지고 있을때

학문을 지도로 보니 지금 어디에 있고, 다른 갈곳이 어떤게 있는지 보기 좋더라

그래서 수학의 종류를 정리한게 없나 싶었는데

역시나 메스프레소님이 수학자나 공식 일화를 정리해주셨는데, 수학의 종류도 정리를 해주셨더라

그래서 본 영상이 수학의 분류다.

그나마 최근에 책보면서

해석학이니 기하학이니 하는 용어가 조금 익숙해지긴 했지만

여전히 수학의 분야에 대해서 막연했는데 조금 더 이해하는데 도움 되었음

최근 쩌는 유튜버를 찾았다.

메스프레소

내가 왜 수학 유튜버를 찾았나

이전에는 공부를 할 때 보통 교재 문제 풀거나 공식 외우는 식으로 계속 하곤 했었다.

하지만 이런 방식으로는 시간이나 체력 낭비도 너무 크고, 금방 잊어버리긴 일수여서

이를 계속 반복하려하니 흐름을 타면 덜하긴 한데 의욕도 너무 떨어지기 쉬웠다.

다른 공부방법으로는 하브루타가 있다고 하지만

내 환경은 그렇지는 못했고, 글이나 자료 만들기로 하브루타를 대체하였으나

배우며 정리하는 방식 또한 억지로 반복 외우기보다는 덜해도 체력 소모가 큰 편이긴 했다.

그래서 조사하거나 암기하는 식으로 공부할 의욕이 없을 때

지금은 한 곳만 팔게 아니라 넓게 둘러볼 시간이 된것 같아 교양서 위주로 다양하게 찾아보고 있었다.

하지만 처음에는 책 어느정도 보긴 했지만 영 책보는것도 점점 질리기 시작했다.

200 ~ 300페이지만 하면 하루에 대충보기도 했지만 길면 길수록 보기 지겨웠고

책보다 편하게 배울수 있는 매체가 필요했는데 가장 적당한게 유튜브

하지만 해외에 비하면 우리나라에는 그런 자료가 많지 않은 편이긴 한데

다행이 컨텐츠 잘만드는 수학 유튜버가 한분 계셧더라

국내에는 매우 드문 수학 주제 유튜버인데

교육 쪽으로 일하시는 분이셔서인지

수학 기초는 물론, 이론 정리나 수학자 역사 등

수학의 넓은 분야를 재밋고 가볍게 볼수 있도록 잘 정리해주셨다

그래서 가장 처음 본게 수학자 레전드 100명 

내가 이전에 수학 역사 책이나 이것 저것 보면서 봤던 사람들이 조금씩 보였다.

이런 식으로 여러가지 보다보면 시간 내서 공부할때 많이 도움될거같다.

이번에 본 책은 만화로 쉽게 배우는 허수 복소수

복소수 다루는 내용을 몇번 보긴 했지만 잘 감도 안잡히고

전기 기사 필기 공부할때 억지로 외운 기억이 나긴하는데 지금 다 잊어버린 상태

내용은 수의 종류

데카르트 좌표계, 복소평면, 극좌표계

복소수 사칙연산

초월수 증명

오일러 정리

회전 행렬

전기회로에서 오일러 정리를 이용한 미분 방정식의 대수 방정식으로 변환시켜 간단하게 사칙연산하는 내용이 나온다.

이전에는 복소수를 왜 사용하는 것인가

잘 이해가 안되다보니

이번에 볼때는 필기해가면서 공식 증명 과정을 전개하기 보다는

복소수의 유용성을 보는데 신경쓴편

그래도 내용이 많지는 않아서 대충 넘어갔다.

보면서 생각난건

예전에 신호와 시스템 공부할때

시스템을 시간 영역에서 계산하면 복잡하지만

푸리에/라플라스 변환을 통해 주파수/s 영역으로 변환하면 간단하게 계산가능했던게 기억나더라

결국엔 복소수는 더 간단하게 계산하려고 만들어졌고,

미분 방정식을 단순화 시킨다 정도만 이해해도 될듯

힣

분명 오일러식이나 전압,전류 식 다 전에 외웠는데 하나도 생각안남

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